誤差伝播の法則


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　標準偏差（誤差）の累積には、「誤差伝播（推移）の法則」と言うものが用いられる。
　誤差伝播の法則はやや難しくなるが、次のように証明する事ができる。

　例えば、テープを中継ぎして２点間の距離を観測する場合を考える。このとき、観測された距離には、テープを中継ぎするときの誤差が影響する。つまり、テープを中継ぎするときの正確さによってその２点間の観測精度は左右される事になる。
　しかし、テープを１回使用して観測する場合の標準偏差（誤差）は既知であるため、これらを連続させた場合の（これらの関数であるところの未知量）結果には、どのように影響を与えるかを、数学的表現でまとめたものが、「誤差の伝播（または拡散）」と呼ばれるものである。

　いま、２点間（1～2）をそれぞれ独立した数量、ｘ1、ｘ2で観測した場合、これらの値から、未知量Ｘを求めるとすると、
Ｘ　＝　X1±X2　として表される。この標準偏差をそれぞれm1とm2、Mとすると、
M^２＝［（xの観測値の誤差）^２］　／ｎとなる。

　また、x1の観測の誤差を、⊿１’、⊿１”、⊿１’’’、…・。X2の観測値の誤差を、⊿2’、⊿2”、⊿2’’’…・とし、X1、X2の標準偏差をそれぞれ、m1、m2とすれば、その大きさは、
m1^２＝［⊿1^２］／ｎ　、　m2^２＝［⊿2^２］／ｎ　、………となる。

　よって、両辺を２乗してそれぞれ加えれば、
（X’ の誤差）２＝⊿1’^２±２⊿1’⊿2’＋⊿2’^２
（X’’ の誤差）２＝⊿1’’^２±２⊿1’’⊿2’’＋⊿2’’^２………

となり、これを全て加えると、
［（X の誤差）^２］＝［⊿1^２］±２［⊿1⊿2］＋［⊿2^２］
となる。ここで、
⊿1’＋⊿1’’＋⊿1’’’＋……＝０
⊿2’＋⊿2’’＋⊿2’’’＋……＝０

※ ⊿1、⊿2は誤差であるため、正であったり負の数であったりする、このため［⊿1⊿2］＝０であると考えられる。

∴［（X の誤差）^２］＝［⊿1^２］＋［⊿2^２］
したがって、

となり、M^２＝ m1^２＋ m2^２

∴

となる。

　つまり、観測が複数に及ぶ場合の標準偏差は、足し算ではなく、誤差（標準偏差）伝播の法則に乗っ取って、展開される。

　一例を上げれば、往復観測をする水準測量の許容範囲の式も、

　となる事が言える。

※参考文献：測量の誤差計算　森北出版　岡積満著

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