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| - 微分についてのちょ〜乱暴な解説 - |
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ある関数ｆ(ｘ)において微小な変化量ｄｘだけ変化したときを考える。
ｆ(ｘ)は何でもよいが、今回は常にｘ2とする。
(ｘ＋dx)2＝x2＋2xdx＋dx2
という展開式になるのは自明である。
すると、ｘに関してdxだけ変化するとｆ(ｘ)＝x2において
2xdx＋dx2
だけ変化したことがわかる。
この変化量を「増分」というが、この増分のみを求めることを「微分する」という。
通常、末尾のdx2はもともとのdxがｘに較べて小さいときは無視するので、
「x2 の微分は原則2x」であるとする。
例えば上の式のｘに100.00ｍ、dxに0.01ｍを代入してみると
dx2を省略した理由が垣間見える。
(100.00＋0.01)2＝100.002＋2・100.00・0.01＋0.012
＝10000.0000＋2.00＋0.0001＝10002.0001
求めるべき数値10000.0000からの増分はたったの2.0001である。
ここで末尾の0.0001は「さらに微小」という理由で切捨てるのだ。
もともと仮定したdx自体が「微小な変化量」であり、その変化量の
これまた微小な量なので切り捨てるのであるが、この『dxが「0」にりなく近づいたとき』という前提が微分にはあるので切り捨てても問題ないということになっている。
先の展開式には「二項定理」というありがたい名前がついている。「定理」というくらいだから「証明」があるのだが、何のことはない。
等式の左辺、括弧内を延々と展開して右辺にしたものである。
この二項定理の典型的な式に（1+1/n）ｎというのがある。
これは有名な展開式で、極値を持つ。
この極値はイタリック体のｅで表し、「自然対数の底」と定義されている。
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